非負有理数の列挙 q : \mathbb{N} \to \mathbb{Q}_{\ge 0} を固定する。 関数 f : X \to [0,\infty] と n \in \mathbb{N} に対して、 \approxFun_n f : X \to [0,\infty] を (\approxFun_n f)(x) \coloneqq \max_{\substack{0 \le i < n \\ q_i \le f(x)}} q_i で定める。このとき次が成り立つ。

1. 任意の n に対して、\approxFun_n f は単関数である。

2. i \le j ならば \approxFun_i f \le \approxFun_j f である。

3. f が可測ならば、任意の x \in X に対して \sup_{n \in \mathbb{N}} (\approxFun_n f)(x) = f(x) である。

f : X \to [0,\infty] を単関数とする。 このとき \underline{\int}_{x \in X} f(x)\,d\mu = \Simp \int_{x \in X} f(x)\,d\mu が成り立つ。

下ルベーグ積分の定義では、値が \mathbb{R}_{\ge 0} に入る単関数だけを考えれば十分である。 より正確には、 \underline{\int}_{x \in X} f(x)\,d\mu = \sup_{\substack{g : X \to \mathbb{R}_{\ge 0},\\ \text{$g$ is simple},\, g \le f}} \Simp \int_{x \in X} g(x)\,d\mu が成り立つ。